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  有界集(bounded set)是一类重要的集合,指可以被有界区间包含的实数集

  有界集(bounded set)是一类重要的集合,vns威尼斯官网登入指可以被有界区间包含的实数集,也就是被长度有限的区间包含的集合。

  “有界”和“边界”是不同的概念,后者看到边界(拓扑)。 孤立的圆是无边界的有界集合,而半平面是无界的,但是具有边界。

  在数学分析和相关的数学领域,一个集合被称为有界的,如果它在某种意义上是有限的大小。 相反,没有界限的集合被称为无界。 在没有度量的一般拓扑空间中,有界的词无意义。

  如果存在实数k,则将S的实数称为有界,使得对于S中的所有s,k≥s。数k被称为S的上界。从下面和下限界定的术语也是类似的定义。如果集合S具有上限和下限,则它是有界的。 因此,如果一组实数被包含在一个有限的间隔内,则它是有界的。

  如果在M和r 0中存在x,使得对于S中的所有s,vns威尼斯官网登入我们有d(x, s)r。 (M,d)是有界度量空间(或d是有界度量),如果M被界定为自身的子集。

  在拓扑向量空间中,存在对有界集合的不同定义,有时称为冯诺依曼边界。 如果拓扑向量空间的拓扑由均匀的度量引起,如在由标准向量空间范数引起的度量的情况下,则两个定义重合。

  当且仅当具有上限和下限时,一组实数是有界的。该定义可扩展到任何部分有序集合的子集。请注意,这个更一般的有界概念不符合“大小”的概念。

  如果在P中存在一个元素k,则部分有序集合P的子集S被称为界限,使得S中的所有s的k≥s。元素k被称为S的上限。下面和下面的概念绑定的定义类似。

  部分有序集合P的子集S如果同时具有上限和下限,则被称为边界,或者等价地,如果它包含在间隔中。注意,这不仅仅是集合S的属性,而是集合S中的一个作为P的子集。

  有界的偏序集P(即本身不作为子集)是具有最少元素和最大元素的偏序集。注意,这种有界限的概念与有限大小无关,并且有限的偏序集 P的子集S以P的顺序的限制不一定是有界的偏序集。

  的子集S相对于欧几里德距离是有界的,当且仅当它被定义为具有乘积顺序的Rn的子集时。然而,S可能被定义为具有词典序列的的子集,而不是关于欧几里德距离。

  一类序数据说是无界的,或者是合法的,当给出任何序数时,总是有一些类的元素大于它。因此,在这种情况下,“无界”并不意味着无限自己,而是作为所有序数的类的子类而无界。

  Robert D. Richmyer, Principles of advanced mathematical physics, Springer-Verlag, New York, 1978.

  R. G. Bartle y D. R. Sherbert: Introduction to Real Analysis, translated., ed. Limusa S.A. 2009.

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