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文章关键词:威尼斯17200vns,有理逼近

  有理数逼近实数的表示方式及应用_数学_自然科学_专业资料。利用有理数对实数逼近的表示方式,给出黎曼函数处处不可导的一种证明,给出单位圆周上的有理点在单位圆上稠密的证明.利用带余除法公式,给出有理数必可表示为有限小数或无限循环小数的证明.

  维普资讯 第2卷 第5 5 期 20 0 7年 1 O月 河 南 科 学 Vo .5 o 5 1 N . 2 Oc . 0 7 t2 0 HENAN S ENCE CI 文章编号 :04 3 1 (0 7 0 — 70 0 10 — 9 82 0 ) 5 0 1- 4 有理数逼近 实数 的表 示方式及应用 邢家省 苏克 勤 L, 张愿章 3 , 2 (. 1 北京航 空航天大学 数学系 , 数学、 信息与行为教育部重 点实验室,北京 10 8 ; 00 3 401) 50 1 2 河南农业大学 信 息与管理科学学院,郑州 4 0 0 ; 3 华北水利水 电学院,郑州 . 5 0 2 . 摘 要:利用有理数对实数逼近的表示方式, 给出黎曼函数处处不可导的一种证明, 给出单位圆周上的有理点在单 位 圆上稠 密的证 明.利用带余除法公 式, 出有理数 必可表示为有限小数 或无限循 环小数 的证 明. 给 关键词:有理数;逼近;黎曼函数 中图分类号 :O 1 7 7 . 2 文献标识码:A 有理数对实数逼近的表示方式是众所周知 的, 使用它可 以证 明出一些较明显 的结果, 然而此表示方式 的深 入应 用 还不 多 见 .作者 发 现有 理 数对 实数 逼 近 的表 示 方 式还 有 更好 的应 用 ,利用 它 给 出 了黎 曼 函数 处处不可导的一种证 明, 出了单位圆周上的有理点在单位 圆上稠密的证 明.利用带余除法公式, 给 给出了 分 数 必 可表示 为 有 限小 数或 无 限循 环 小数 的证 明 .这 些 结 果是 极 有探 索 意义 的 ,然 而 它们 的证 明是不 常 见到的, 为此作者给 出或找到这些结论的证明. 把 全体有 理数形 成 的集合 , 为 p 把全体 实数 形成 的集 合 , 为 . 记 ; 记 1 有理数逼近实数 的表示方式 设 q是任 意 给 定 的正整 数 , 把数 轴 上 的单 位长 度 分成 q等份 , 出代 表 的那 一 点 ; 而 , 找 从 对任 何 整数 q p 便 不难 找 出代 表旦 的那 一点 , , 于是任 何有 理数 旦 都可 在数 轴 上表 示 出来 . q q 对 于任 意 固定 的正整 数 口 如今 让 P遍 取所 有 的整 数 , 么 这些 数 把数 轴分 成 一些 长度 为 的 区间 , , 那 q q 区间组【 , 旦 旦) p遍取所有的整数) ( 就覆盖着了整个数轴 . q g 每 一个实 数 ( 一 个 点) 于这 些 区问 中 的一个 区 间 , 就是 说 , 于任 意 固定 的实数 ( 一个 点) , 每 位 这 对 每 一 定可 以找到一个整数 p 使得∈ 旦 , , [ q q )  ̄- ≤ < ,l - J P q q , 即使得 I I1 , 一 一 < I q 1 I上 . < q q q 由于 口 是任意取定的正整数, 我们可以事先把 q取得充分大, 以致使 小于我们预设的值 . 霉 上面的不等式表明: 每一个实数都能用有理数去逼近到任意的精确程度 .这称为有理数在实数中是稠 密的. 2 无理数对 实数 的逼近表 示 设 口是一个 正无 理数 ( 例如 、 ) 对 于任 意 固定 的正 整数 g 区间组[ 口旦 n 遍 取所 有 的整数 p 就 / , , 旦 ,威尼斯17200vns )( ) q q 覆 盖 了整 个数 轴 . 每一个 实数 ( 一个 点) 每 位于 这些 区间 中的一个 区 间, 这就 是 说 , 对于 任意 固定 的实数 ( 一个 点) 一 每 , 收稿 日期:2 0 — 5 2 0 70—8 基金项 目:河南省软科学基金 资助项 目(5 3 1 10 ; 0 10 1 1) 北京航空航天大 学精 品课程项 目基金资助 作者简介 :邢家省 (9 4 ) 男, 16 一 , 河南泌 阳人 , 副教授 , 博士, 主要从事教学和科研 工作 . 维普资讯 20 07年 1 O月 邢 家省等: 有理数逼近实数的表示方式及应用 一 7 l一 l 定可 以找到一个整数 p 使得∈ 旦 口 , 【 , g g , 即有 I- 口I 一 口 由于 q是任 意取 定 的 正整 数 , 们 可 旦 x <1 我 . g g 以事先把 口取得充分大, 以致使 小于我们预想的值 . 一 g 上 面 的不 等式 表 明 : 一个 实 数都 能用 无 理数 去 逼近 到任 意 的精 确程 度 .这 意味 着 无理 数在 数轴 上 也 每 是 稠密 的 . 利 用有 理数 ( 理 数) 无 对实 数 的逼 近表 示 , 以给 出任 何两 个 不等 的 实数 之 间必 有无 限 多个 有 理数 也 有 可 无 限多个 无 理数 的证 明 . 3 黎 曼函数处处不 可导 的证 明 f 函数 R ) 1 :一 l g I , x= 0 1 手g, 互 , R a函 ? , p 素称 in 数 > , 为 en 0g m 无 理数 }, O 对= = ,> , , 素 , 以只 有 p 0q lR() 1所 以 R 在 x O处的值 是惟 一确 定 的 . O q 0P q互 所 = ,= , O = , ) = g Re an函数 是非常 著名 的函数 , im n 利用它 说 明过 一些 重大 问题 ,

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